عدد فیبوناچی

عدد فیبوناچی را از این سایت دریافت کنید.

اعداد فیبوناچی

اعداد فیبوناچی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در ریاضیات، سری فیبوناچی (به انگلیسی: Fibonacci number) به دنباله‌ای از اعداد می‌گویند که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

{\displaystyle F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}

غیر از دو عدد اول، اعداد بعدی از جمعِ دو عددِ قبلیِ خود بدست می‌آیند. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹، ۱۴۴، ۲۳۳، ۳۷۷، ۶۱۰، ۹۸۷، ۱۵۹۷، ۲۵۸۴، ۴۱۸۱، ۶۷۶۵، ۱۰۹۴۶، ۱۷۷۱۱

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی، ریاضی‌دان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نام‌گذاری شده‌است.

دنباله فیبوناچی[ویرایش]

در واقع، فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقه‌مند شد. او می‌خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آن‌ها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود:

شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن به‌دنیا آمده‌اند.

خرگوش‌ها پس از یک ماه بالغ می‌شوند.

دوران بارداری خرگوش‌ها یک ماه است.

هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتماً باردار می‌شود.

در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده به‌دنیا می‌آورد.

خرگوش‌ها هرگز نمی‌میرند.

حساب کنید پس از {\displaystyle n}

ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت؟

فرض کنیم

{\displaystyle x_{n}}

تعداد جفت خرگوش پس از

{\displaystyle n}

ماه باشد، می‌دانیم که

{\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=1}

، تعداد جفت خرگوشها در ماه

{\displaystyle n+1}

-اُم برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوش‌هایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (

{\displaystyle x_{n}}

). اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم‌اکنون حداقل دو ماه سن خواهند داشت و به سن زادوولد رسیده‌اند. تعداد جفت خرگوش‌های متولد شده برابر خواهد بود با

{\displaystyle x_{n}-1}

، پس خواهیم داشت:

مارپیچ فیبوناچی

x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱

شکل‌گیری دنباله فیبو ناچی. جمع هر دو عدد، عدد بعدی را شکل می‌دهد.

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.

۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.

رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:

{\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,\forall n>2:F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود.

جملهٔ عمومی دنبالهٔ فیبوناچی[ویرایش]

چند فرمول برای احتساب جملهٔ

{\displaystyle n}

-اُم دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد.

{\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\,,}

، یکی از این فرمول هاست.

{\displaystyle \varphi }

(فی) همان عدد طلایی است که برابر با:

{\displaystyle {1+{\sqrt {5}}} \over 2}

می‌باشد؛ که تقریباً برابر ۱٫۶ می‌باشد

درستی جمله عمومی را می‌توان از طریق استقرای ریاضی اثبات کرد.

برای {\displaystyle n=0} داریم:

{\displaystyle F(0)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}}{\sqrt {5}}}={\frac {1-1}{\sqrt {5}}}=0}

برای {\displaystyle n=1} داریم:

{\displaystyle F(1)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}}{\sqrt {5}}}={\frac {{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {1+{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {2{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}=1}

در نتیجه برای {\displaystyle n=0} و {\displaystyle n=1} فرمول درست است.

حال با فرض درسی رابطه برای

{\displaystyle n\leq k}

می‌خواهیم فرمول را برای

{\displaystyle n=k+1}

ثابت کنیم. برای {\displaystyle n=k} داریم:

{\displaystyle F(k)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}}{\sqrt {5}}}}

برای

{\displaystyle n=k-1}

داریم:

{\displaystyle F(k-1)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}}

حال فرمول را برای

{\displaystyle F(k+1)}

که حاصل‌جمع

{\displaystyle F(k)}

و

{\displaystyle F(k-1)}

منبع مطلب : fa.wikipedia.org

دنباله فیبوناچی چیست ؟ — اعداد فیبوناچی، الگوی فیبوناچی (+ فیلم آموزش رایگان) – فرادرس

همانطور که در متن خواندید، اعداد فیبوناچی، الگوی فیبوناچی یا دنباله فیبوناچی دارای ویژگی‌های خاصی است که آن را نسبت به سری‌های دیگر متمایز می‌کند.

در ریاضیات، دنباله‌ها و رفتار آن‌ها بسیار مورد توجه قرار گرفته است. بخصوص دنباله‌ها و سری‌هایی که در طبیعت نیز به وضوح دیده می‌شوند. یکی از این سری‌ها، دنباله فیبوناچی است که در بسیاری از تناسب‌ها (مثل اعداد طلایی) دیده می‌شود. در این متن از سری مطالب ریاضی مجله فرادرس می‌خواهیم بدانیم که دنباله فیبوناچی چیست ؟ اعداد فیبوناچی، الگوی فیبوناچی هر یک به چه معنی است و به چه کار می‌آیند.

فهرست مطالب این نوشته

فیلم آموزشی دنباله فیبوناچی

دنباله فیبوناچی چیست ؟

معرفی فیلم آموزش اندیکاتور همگرایی – واگرایی میانگین متحرک (MACD)

خلاصه و جمع‌بندی

فیلم آموزشی دنباله فیبوناچی

دانلود ویدیو

برای آشنایی بیشتر با مباحث به کار رفته در این متن بهتر است مطالب دیگری از مجله فرادرس با عنوان‌ الگوها و دنباله های متداول عددی — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد و آموزش فیبوناچی در تحلیل تکنیکال بورس | به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

دنباله فیبوناچی چیست ؟

اعداد فیبوناچی برای ایجاد شاخص‌های فنی با استفاده از توالی ریاضی ساخته و توسط ریاضیدان ایتالیایی، «لئونارد پیزانو بوگولو» (Leonardo Pisano Bogollo) در ابتدای قرن سیزدهم معرفی شد. البته نام خانوادگی او در سال‌های بعد به «فیبوناچی» (Fibonacci) تغییر یافت. در واقع فیبوناچی لقب وی به معنی «پسر بوناچی» بوده است. فیبوناچی علاوه بر شهرتی که به خاطر دنباله فیبوناچی دارد، به علت گسترش اعداد هندی – عربی (همان اعداد معمول در ریاضی امروزی 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) نیز مشهور شده است.

روز 23 نوامبر (2 آذر) به نام روز فیبوناچی نامگذاری شده است. چرا که این روز در تقویم میلادی به صورت 11/23 نشان داده می‌شود که ابتدای دنباله فیبوناچی است.

لئونارد پیزانو بوگولو (Leonardo Pisano Bogollo)

نکته: باید اشاره کنیم که فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده است و این دنباله صدها سال پیش از وی در هند شناخته شده و به کار می‌رفت.

توالی اعداد در سری یا دنباله فیبوناچی، با صفر و یک شروع می‌شود، با جمع کردن دو عدد قبلی در هر گام، یک عدد دیگر از این دنباله ایجاد خواهد شد. به عنوان مثال، قسمت اولیه دنباله 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377 و غیره است. همانطور که می‌بینید از سمت راست به چپ، جمع هر دو عدد متوالی، عدد بعدی را ساخته است. این توالی را می‌توان به نسبت‌هایی تقسیم کرد که برخی معتقدند سرنخی را درباره مکان حرکت یک بازار مالی مشخص ارائه می‌دهد. در مورد این موضوع در ادامه متن صحبت خواهیم کرد.

نکته: جالب است که بدانید، دنباله فیبوناچی ابتدا برای مشخص کردن جمعیت خرگوش‌ها به کار رفت. لئونارد پیزانو، قصد داشت بداند در پایان یک سال با داشتن یک زوج خرگوش، چند خرگوش زاد و ولد کرده و تعدادشان به چه عددی می‌رسد.

تولید مثل خرگوش‌ها و تعداد نهایی آن‌ها

اعداد فیبوناچی

اگر بخواهیم این دنباله را به بیان ریاضی نمایش دهیم، از رابطه‌های زیر کمک خواهیم گرفت. در اینجا $$F_i$$ عدد فیبوناچی در گام یا مرحله $$i$$ام است.

$$ \large F_0 = 0 $$

$$ \large F_1 = 1 $$

$$ \large F_i = F_{i-1} + F_{i-2} $$

به این ترتیب اگر مقدار $$i$$ را از صفر آغاز کنیم، دنباله یا سری فیبوناچی تولید خواهد شد.

نکته: در دنباله‌ای که شخص فیبوناچی ابداع کرد، $$i$$ از مقدار ۱ آغاز می‌شود و داریم $$F_1 = F_2 = 1 $$.

براساس رابطه‌های گفته شده می‌توانیم ۲۱ عدد ابتدایی دنباله فیبوناچی را به صورت زیر در نظر بگیریم.

F0 0 F11 89 F1 1 F12 144 F2 1 F13 233 F3 2 F14 377 F4 3 F15 610 F5 5 F16 987 F6 8 F17 1597 F7 13 F18 2584 F8 21 F19 4181 F9 34 F20 6765 F10 55

در تصویر زیر نمایش میزان رشد اعداد فیبوناچی را مشاهده می‌کنید. این نمودار را به سادگی در اکسل می‌توانید ترسیم کنید.

نمودار رشد مقادیر یا دنباله فیبوناچی برای اعداد مثبت

همین دنباله را می‌توان برای اعداد منفی نیز ساخت. در این صورت رابطه بین مقادیر این دنباله به صورت زیر خواهد بود.

$$ \large {\displaystyle F_{-i} = (-1)^{i+1} F_{i}} $$

به این ترتیب دنباله‌ای به شکل زیر خواهیم داشت.

F−8 −21 F0 0 F−7 13 F1 1 F−6 −8 F2 1 F−5 5 F3 2 F−4 −3 F4 3 F−3 2 F5 5 F−2 −1 F6 8 F−1 1 F7 13 — — F8 21

این بار نمودار مربوط به این داده‌ها را ترسیم کرده و با شکل قبلی مقایسه می‌کنیم.

نمودار دنباله فیبوناچی به همراه مقادیر منفی آن

به خوبی تناوب یا تغییر مقادیر مثبت به منفی در مجموعه مقادیر منفی دنباله فیبوناچی دیده می‌شود. ولی برای اعداد مثبت در دنباله فیبوناچی، تناوب وجود ندارد.

به این ترتیب مشخص شد که اعداد فیبوناچی چیست و الگوی فیبوناچی به چه شکلی است. در ادامه در مورد نسبت طلایی حاصل از همگرایی نسبت اعداد فیبوناچی صحبت خواهیم کرد و در انتها نیز یکی از کاربردهای این نسبت طلایی و اعداد الگوی فیبوناچی را در بازارهای مالی و بخصوص بورس مورد بررسی قرار می‌دهیم.

نسبت طلایی و الگوی فیبوناچی

دنباله فیبوناچی به دلیل آن که یک نسبت خاص بین اعداد متوالی آن وجود دارد، اهمیت زیادی پیدا کرده است. این نسبت که به نام نسبت اعداد طلایی نیز شناخته می‌شود برابر است با 1٫618. واضح است که این نسبت از تقسیم عدد بزرگتر بر عدد کوچکتر در دنباله فیبوناچی بدست می‌آید.

برای مثال دو عدد متوالی (به جز صفر) را در نظر بگیرید. در اینجا ۵ و ۸ را مثال می‌زنیم. نسبت یا تقسیم ۸ بر ۵ برابر است با تقریبا ۱٫۶۱۸ با سه رقم اعشار. البته این عدد یک عدد گویا نیست و باید آن را از جمله مقادیر گنگ یا اصم در نظر گرفت. نکته جالب این است که این عدد اصم یا نسبت طلایی، براساس اعداد صحیح یا طبیعی ساخته شده است. به نتیجه تقسیم و بدست آمدن اعداد طلایی بعدی در ادامه توجه کنید.

$$ \large \dfrac{3}{2} \approx  1.500 $$

$$ \large \dfrac{5}{3} \approx  1.667 $$

$$ \large \dfrac{8}{5} \approx  1.6 $$

$$ \large \dfrac{13}{8} \approx  1.625 $$

$$ \large \dfrac{21}{13} \approx  1.615 $$

$$ \large \dfrac{34}{21} \approx  1.619 $$

منبع مطلب : blog.faradars.org